Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），設數(shù)列f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n）…是首項為4，公差為2的等差數(shù)列．
（I）設a為常數(shù)，求證：{a_n}成等比數(shù)列；
（II）設b_n=a_nf（a_n），數(shù)列{b_n}前n項和是S_n，當時，求S_n．

Answer 1

證明：（I）f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，
即log_aa_n=2n+2，可得a_n=a²ⁿ⁺²．
∴==為定值．
∴{a_n}為等比數(shù)列．（5分）
（II）解：b_n=a_nf（a_n）=a²ⁿ⁺²log_aa²ⁿ⁺²=（2n+2）a²ⁿ⁺²．（7分）
當時，．（8分）
S_n=2×2³+3×2⁴+4×2⁵++（n+1）•2ⁿ⁺² ①
2S_n=2×2⁴+3×2⁵+4×2⁶++n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³ ②
①-②得-S_n=2×2³+2⁴+2⁵++2ⁿ⁺²-（n+1）•2ⁿ⁺³（12分）
=-（n+1）•2ⁿ⁺³=16+2ⁿ⁺³-2⁴-n•2ⁿ⁺³-2ⁿ⁺³．
∴S_n=n•2ⁿ⁺³．（14分）
分析：（I）先利用條件求出f（a_n）的表達式，進而求出{a_n}的通項公式，再用定義來證{a_n}是等比數(shù)列即可；
（II）先求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再對數(shù)列{b_n}利用錯位相減法求和即可．
點評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．