Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|x+1|
（Ⅰ）解不等式：f（x）＜2；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為t²-$\frac{7}{2}$t≤-3，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）x≥2時：f（x）=x-2-x-1=-3＜2，成立，
-1＜x＜2時：f（x）=2-x-x-1=1-2x＜2，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜2，
x≤-1時：f（x）=2-x+x+1=3＜2不成立，
故不等式的解集是（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3，x≥2}\\{1-2x，-1＜x＜2}\\{3，x≤-1}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值是-3，
若?x∈R，使得f（x）≥t²-$\frac{7}{2}$t恒成立，
即有f（x）_min≥t²-$\frac{7}{2}$t，
即有t²-$\frac{7}{2}$t≤-3，解得：$\frac{3}{2}$≤t≤2，
則實數(shù)t的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，2]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．