Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示．若f（α）=1，α∈（0，

π

3

），則sin2α=

 

．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由圖象得到A的值和四分之一周期，進(jìn)一步得到周期，由周期公式求出ω，再由五點作圖的第四點求得φ，則函數(shù)解析式可求，由f（α）=1求出sin（2α+

5π

6

）=

1

3

，進(jìn)一步求出cos（2α+

5π

6

）的值，配角后展開兩角差的正弦得到sin2α的值．

解答： 解：由圖可知，A=3，

1

4

T=

7π

12

-

π

3

=

π

4

，
∴T=π，則ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
由五點作圖的第四點可知，2×

π

3

+φ=

3π

2

，得φ=

5π

6

．
∴f（x）=3sin（2x+

5π

6

）．
由f（α）=1，得3sin（2α+

5π

6

）=1．
sin（2α+

5π

6

）=

1

3

．
∵α∈（0，

π

3

），
∴2α+

5π

6

∈(

5π

6

 ，

3π

2

)．
cos（2α+

5π

6

）=-

1-( 1 3 )2

=-

2 2

3

．
∴sin2α=sin(2α+

5π

6

-

5π

6

)
=sin(2α+

5π

6

)cos

5π

6

-cos(2α+

5π

6

)sin

5π

6

=

1

3

×(-

3

2

)-(-

2 2

3

)×

1

2

=

2 2 - 3

6

．
故答案為：

2 2 - 3

6

．

點評：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了三角恒等變換，訓(xùn)練了三角函數(shù)值的求法，是中檔題．