解:(1)由
,得:
或
(k∈Z),
由
,得:
(k∈Z).
所以,函數(shù)
=
,
函數(shù)
=
,
所以,
.
(2)
,
.
當(dāng)a=0時,則有a(T(x))=T(ax)=0恒成立.
當(dāng)a>0時,當(dāng)且僅當(dāng)a=1時有a(T(x))=T(ax)=T(x)恒成立.
綜上可知當(dāng)a=0或a=1時,a(T(x))=T(ax)恒成立;
(3)①當(dāng)
時,對于任意的正整數(shù)i∈N
*,1≤i≤n-1,
都有
,
故有
=
=2
nx.
②由①可知當(dāng)
時,有
,根據(jù)命題的結(jié)論可得,
當(dāng)
時,有
,
故有
=-2
nx+2.
因此同理歸納得到,當(dāng)
(i∈N,0≤i≤2
n-1)時,
=
.
對于給定的正整數(shù)m,當(dāng)
時,
解方程T
m(x)=kx得,
,
要使方程T
m(x)=kx在x∈[0,1]上恰有2
m個不同的實(shí)數(shù)根,
對于任意i∈N,0≤i≤2
m-1,必須
恒成立,
解得
,若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{x
n},
由此可得
(n∈N
*,1≤i≤2
m).
故數(shù)列{x
n}所有2
m項(xiàng)的和為:
=
=
.
分析:(1)由
和
,解出x的范圍,然后直接把
代入分段函數(shù)解析式即可,
求y=sin(
T(x))的解析式可把T(x)直接代入.
(2)分別寫出函數(shù)y=aT(x)和y=T(ax)的解析式,由解析式看出當(dāng)a=0時aT(x)=T(ax)恒成立,
而a>0時,直接由aT(x)=T(ax)看出a取1時此等式成立;
(3)①當(dāng)x∈[0,
]時,x∈[0,
),則在函數(shù)T(x)=2x的解析式中,依次取x=2x可求y=T
n(x)的解析式;
②根據(jù)題目給出的條件:當(dāng)x∈[
,
](i∈N
*,1≤i≤2
n-1)時,都有T
n(x)=T
n(
-x)恒成立,
求出當(dāng)
(i∈N,0≤i≤2
n-1)時的T
n(x)的解析式,再由方程T
m(x)=kx求得當(dāng)
時,
,那么,數(shù)列{x
n}所有2
m項(xiàng)的和可利用分組進(jìn)行求和.
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法,考查了函數(shù)恒成立問題,考查了數(shù)列的函數(shù)特性及數(shù)列的分組求和,特別是(3)中的②涉及到復(fù)雜條件下的函數(shù)解析式的求解及方程根的問題,需要學(xué)生有清晰的頭腦,考查了學(xué)生進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算的能力,此題是難度較大的題目.