Question

已知復(fù)數(shù)z=

1

2

+

3

2

i，ω=

2

2

+

2

2

i．求復(fù)數(shù)zω+zω³的模及輻角主值．

Answer 1

分析：先把復(fù)數(shù)化為三角形式，代入復(fù)數(shù)zω+zω³并化簡，再求模；
也可以直接代入復(fù)數(shù)zω+zω³，按復(fù)數(shù)乘除運算即可．

解答：解法一：將已知復(fù)數(shù)化為復(fù)數(shù)三角形式：z=

1

2

+

3

2

i=cos

π

3

+isin

π

3

，ω=

2

2

+

2

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

依題意有zω+zω₃
=（cos

7π

12

+isin

7π

12

）+（cos

13π

12

+isin

13π

12

）
=（cos

7π

12

+cos

13π

12

）+i（sin

7π

12

+sin

13π

12

）
=2cos

π

4

（cos

5π

6

+isin

5π

6

）
故復(fù)數(shù)zω+zω³的模為

2

，輻角主值為

5π

6

．
解法二：zω+zω³
=zω（1+ω²）
=（

1

2

+

3

2

i）（

2

2

+

2

2

i）（1+i）
=

2

（-

3

2

i+

1

2

i）
=

2

（cos

5π

6

+isin

5π

6

）

點評：本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)的運算等基礎(chǔ)知識，考查利用三角公式進行變形的技能和運算能力．