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12.設(shè)在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)不相等角α,β,滿足方程acosx+bsinx+c=0.試證:
(1)\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}=\frac{sin\frac{α+β}{2}}=\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}};
(2)cos2\frac{α-β}{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}

分析 (1)根據(jù)題意,acosα+bsinα+c=0①,acosβ+bsinβ+c=0②;
①-②消去c,利用和差化積證出\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}=\frac{sin\frac{α+β}{2}};
①×cosβ-②cosα消去a,利用兩角差的正弦公式與和差化積證出\frac{sin\frac{α+β}{2}}=\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}}即可;
(2)由(1)平方,再利用合比公式即可求出cos2\frac{α-β}{2}的值.

解答 證明:(1)方程acosx+bsinx+c=0在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根α、β,
∴acosα+bsinα+c=0,①
acosβ+bsinβ+c=0,②
∴方程①-②消去c得,
a(cosα-cosβ)+b(sinα-sinβ)=0,
即a(-2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2})+b(2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2})=0,
∴2sin\frac{α-β}{2}(bcos\frac{α+β}{2}-asin\frac{α+β}{2})=0,
∵α≠β,∴sin\frac{α-β}{2}≠0,
∴bcos\frac{α+β}{2}-asin\frac{α+β}{2}=0,
\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}=\frac{sin\frac{α+β}{2}};
①×cosβ-②cosα消去a得:
bsinαcosβ-bsinβcosα+c(cosβ-cosα)=0,
∴bsin(α-β)=2csin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2},
即2bsin\frac{α-β}{2}cos\frac{α-β}{2}=2c•sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2},
\frac{sin\frac{α+β}{2}}=\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}};
\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}=\frac{sin\frac{α+β}{2}}=\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}};
(2)由(1)知,
\frac{{c}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α-β}{2}}=\frac{{a}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α+β}{2}}=\frac{^{2}}{{sin}^{2}\frac{α+β}{2}}
=\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α+β}{2}{+sin}^{2}\frac{α+β}{2}}
=a2+b2,
∴cos2\frac{α-β}{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}

點(diǎn)評 本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用問題,也考查了三角恒等式的證明問題,是較難的題目.

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