分析 (1)根據(jù)題意,acosα+bsinα+c=0①,acosβ+bsinβ+c=0②;
①-②消去c,利用和差化積證出\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}=\frac{sin\frac{α+β}{2}};
①×cosβ-②cosα消去a,利用兩角差的正弦公式與和差化積證出\frac{sin\frac{α+β}{2}}=\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}}即可;
(2)由(1)平方,再利用合比公式即可求出cos2\frac{α-β}{2}的值.
解答 證明:(1)方程acosx+bsinx+c=0在(0,π)內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根α、β,
∴acosα+bsinα+c=0,①
acosβ+bsinβ+c=0,②
∴方程①-②消去c得,
a(cosα-cosβ)+b(sinα-sinβ)=0,
即a(-2sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2})+b(2cos\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2})=0,
∴2sin\frac{α-β}{2}(bcos\frac{α+β}{2}-asin\frac{α+β}{2})=0,
∵α≠β,∴sin\frac{α-β}{2}≠0,
∴bcos\frac{α+β}{2}-asin\frac{α+β}{2}=0,
∴\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}=\frac{sin\frac{α+β}{2}};
①×cosβ-②cosα消去a得:
bsinαcosβ-bsinβcosα+c(cosβ-cosα)=0,
∴bsin(α-β)=2csin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2},
即2bsin\frac{α-β}{2}cos\frac{α-β}{2}=2c•sin\frac{α+β}{2}sin\frac{α-β}{2},
∴\frac{sin\frac{α+β}{2}}=\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}};
即\frac{a}{cos\frac{α+β}{2}}=\frac{sin\frac{α+β}{2}}=\frac{c}{cos\frac{α-β}{2}};
(2)由(1)知,
\frac{{c}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α-β}{2}}=\frac{{a}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α+β}{2}}=\frac{^{2}}{{sin}^{2}\frac{α+β}{2}}
=\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{cos}^{2}\frac{α+β}{2}{+sin}^{2}\frac{α+β}{2}}
=a2+b2,
∴cos2\frac{α-β}{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}{+b}^{2}}.
點(diǎn)評 本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用問題,也考查了三角恒等式的證明問題,是較難的題目.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{1}{{2}^{n}} | B. | n+\frac{1}{{2}^{n}} | C. | n-\frac{1}{{2}^{n}}+1 | D. | n2-2n-\frac{1}{{2}^{n}}+1 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 概率為\frac{1}{7} | B. | 頻率為\frac{1}{7} | C. | 頻率為7 | D. | 概率接近\frac{1}{7} |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 9 | B. | \frac{28}{3} | C. | \frac{32}{3} | D. | 12 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ({-∞\;,\;-\frac{2}{3}}] | B. | [{\frac{2}{3}\;,\;+∞}) | C. | ({-∞\;,\;-\frac{1}{2}}] | D. | ({-∞\;,\;\frac{1}{2}}] |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com