Question

2．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切
（1）求橢圓C的方程；
（2）若Q（1，0），設A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意不相同的兩點，連接AQ交橢圓C于另一點E，證明直線BE與x軸交于定點P．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設B（x₀，y₀），A（x₀，-y₀），AB：y=$\frac{{y}_{0}}{1-{x}_{0}}$（x-1），結合$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$以及$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，得：（15-6x₀）x²-6（4-x₀²）x+24x₀-15${{x}_{0}}^{2}$=0，由韋達定理求出直線BE，由此能證明直線BE與x軸交于定點P．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以原點為圓心，
橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+$\sqrt{6}$=0相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{|\sqrt{6}|}{\sqrt{2}}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
證明：（2）如圖，設B（x₀，y₀），
A（x₀，-y₀），
AB：y=$\frac{{y}_{0}}{1-{x}_{0}}$（x-1），結合$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$以及$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，
得：（15-6x₀）x²-6（4-x₀²）x+24x₀-15${{x}_{0}}^{2}$=0，
由韋達定理得${x}_{0}{{x}_{E}}_{\;}^{\;}$=$\frac{{x}_{0}（8-5{x}_{0}）}{5-2{x}_{0}}$，
解得E（$\frac{8-8{x}_{0}}{5-2{x}_{0}}$，$\frac{3{y}_{0}}{5-2{x}_{0}}$），
∴直線BE：y-y₀=$\frac{{y}_{0}（-2+2{x}_{0}）}{8-10{x}_{0}+2{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
令y=0，解得P（4，0），
∴直線BE與x軸交于定點P（4，0）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與x軸交于定點的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓方程、直線方程的性質的合理運用．