Question

記函數(shù)fn(x)＝a·xn－1(a∈R，n∈N*)的導(dǎo)函數(shù)為f′n(x)，已知f′3(2)＝12.

(1)求a的值；

(2)設(shè)函數(shù)gn(x)＝fn(x)－n2ln x，試問：是否存在正整數(shù)n使得函數(shù)gn(x)有且只有一個零點？若存在，請求出所有n的值；若不存在，請說明理由；

(3)若實數(shù)x0和m(m>0且m≠1)滿足＝，試比較x0與m的大小，并加以證明．

 

Answer 1

（1）a＝1 （2）存在n＝1，使得函數(shù)gn(x)有且只有一個零點．

（3）見解析

【解析】【解析】
(1)f3′(x)＝3ax2，由f3′(2)＝12得a＝1.

(2)gn(x)＝xn－n2ln x－1，

g′n(x)＝nxn－1－＝.

因為x>0，令gn′(x)＝0得x＝，

當(dāng)x>時，gn′(x)>0，gn(x)是增函數(shù)；

當(dāng)0<x<時，gn′(x)<0，gn(x)是減函數(shù)．

所以當(dāng)x＝時，gn(x)有極小值，也是最小值，

gn()＝n－nln n－1.

當(dāng)x→0時，gn(x)→＋∞；

當(dāng)x→＋∞時，gn(x)→＋∞.

當(dāng)n≥3時，gn()＝n(1－ln n)－1<0，函數(shù)gn(x)有兩個零點；

當(dāng)n＝2時，gn()＝－2ln 2＋1<0，函數(shù)gn(x)有兩個零點；

當(dāng)n＝1時，gn()＝0，函數(shù)gn(x)有且只有一個零點．

綜上所述，存在n＝1，使得函數(shù)gn(x)有且只有一個零點．

(3)fn′(x)＝n·xn－1.

因為＝，

所以＝，

解得x0＝.

則x0－m＝，

當(dāng)m>1時，(n＋1)(mn－1)>0.

設(shè)h(x)＝－xn＋1＋x(n＋1)－n(x≥1)，則h′(x)＝－(n＋1)xn＋n＋1＝－(n＋1)·(xn－1)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，

所以h(x)在[1，＋∞)上是減函數(shù)．

又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，

所以x0－m<0，所以x0<m.

當(dāng)0<m<1時，(n＋1)(mn－1)<0.

設(shè)h(x)＝－xn＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，

則h′(x)＝－(n＋1)xn＋n＋1＝－(n＋1)·(xn－1)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以h(x)在(0,1]上是增函數(shù)．

又因為0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，

所以x0－m>0，所以x0>m.

綜上所述，當(dāng)m>1時，x0<m，當(dāng)0<m<1時，x0>m.