Question

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點(diǎn)變換到這一平面上的一點(diǎn).

（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦距為，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個焦點(diǎn)、經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)和的坐標(biāo)；

（2） 若曲線上一點(diǎn)經(jīng)變換公式變換后得到的點(diǎn)與點(diǎn)重合，則稱點(diǎn)是曲線在變換下的不動點(diǎn). 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點(diǎn)、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點(diǎn)的存在情況和個數(shù).

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①. 又由條件得…②，故由①、②可解得，. 即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 且橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和. 對于變換：，當(dāng)時，可得 設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為； 又即的坐標(biāo)為. （2）設(shè)是橢圓在變換下的不動點(diǎn)，則當(dāng)時， 有，由點(diǎn)，即，得：

       ，因而橢圓的不動點(diǎn)共有兩個，分別為和.

（3）由（2）可知，曲線在變換下的不動點(diǎn)需滿足.

情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為（），

則有.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111474096873159/SYS201205211149375781760040_DA.files/image038.png">，所以恒成立，因此橢圓在變換下的不動點(diǎn)必定存在，且一定有2個不動點(diǎn).

情形二：設(shè)雙曲線方程為（），

則有,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052111474096873159/SYS201205211149375781760040_DA.files/image041.png">，故當(dāng)時，方程無解；[來源:學(xué)�？�。網(wǎng)Z。X。X。K]

當(dāng)時，故要使不動點(diǎn)存在，則需，

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，雙曲線在變換下一定有2個不動點(diǎn).否則不存在不動點(diǎn).

進(jìn)一步分類可知，

(i) 當(dāng)，時，.

即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點(diǎn).否則不存在不動點(diǎn).

(ii) 當(dāng)，時，.

即雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點(diǎn).否則不存在不動點(diǎn).