Question

已知函數f(x)=log2

x-5

x+5

（Ⅰ）求函數f（x）的定義域；
（Ⅱ）若f（a）=4，求a的值；
（Ⅲ）判斷并證明該函數的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對于函數f(x)=log2

x-5

x+5

，有

x-5

x+5

＞0，解可得答案；
（Ⅱ）根據題意，有f（a）=log₂

a-5

a+5

=4，變形可得

a-5

a+5

=16，解可得答案；
（Ⅲ）首先分析函數的奇偶性，可得f（x）為奇函數，任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，用作差法證明可得f（x）在（5，+∞）上是單調遞增的，結合函數的奇偶性可得f（x）在（-∞，-5）上也是單調遞增的，綜合可得答案．

解答：解：（Ⅰ）對于函數f(x)=log2

x-5

x+5

，有

x-5

x+5

＞0，
解可得x＜-5或x＞5．
所以f（x）的定義域為（-∞，-5）∪（5，+∞）；
（Ⅱ）f（a）=log₂

a-5

a+5

=4，
即

a-5

a+5

=16，
解可得，a=-

17

3

；
（Ⅲ）f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是單調遞增的．
證明：由（Ⅰ）可得，函數的定義域為（-∞，-5）∪（5，+∞），關于原點對稱；
又有f(-x)=log2

-x-5

-x+5

=log2

x+5

x-5

=log2(

x-5

x+5

)-1=-log2

x-5

x+5

=-f(x)
則f（x）為奇函數，
任取x₁，x₂∈（5，+∞），且x₁＜x₂，則△x=x₂-x₁＞0，
f（x₂）-f（x₁）=log₂

x2-5

x2+5

-log₂

x1-5

x1+5

=log₂（

x2-5

x2+5

÷

x1-5

x1+5

）=log₂

x1x2+5△x-25

x1x2-5△x-25

；
∵△x=x₂-x₁＞0，∴x₁x₂-25+5△x＞x₁x₂-25-5△x
∴

x1x2-25+5(x2-x1)

x1x2-25+5(x1-x2)

＞1，
∴log2

x1x2-25+5(x2-x1)

x1x2-25+5(x1-x2)

＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0
由此證得f（x）在（5，+∞）上是單調遞增的，
又∵f（x）是奇函數，
∴f（x）在（-∞，-5）上也是單調遞增的．
∴f（x）在（5，+∞）和（-∞，-5）上是單調遞增的．

點評：本題考查綜合考查函數的奇偶性與單調性，解（Ⅲ）時，由于所求函數的定義域不連續(xù)，要先分析證明一半定義域中的單調性，再利用函數的奇偶性的性質，分析剩余區(qū)間的單調性，進而綜合考慮可得整體的單調性．