Question

已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，其左準(zhǔn)線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)N，并且滿(mǎn)足.設(shè)A、B是上半橢圓上滿(mǎn)足的兩點(diǎn)，其中.

（1）求此橢圓的方程；

（2）求直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍.

 

Answer 1

（1）（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線(xiàn)和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線(xiàn)方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線(xiàn)方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論.

試題解析：（1）由于

解得 從而所求橢圓的方程是

（2）三點(diǎn)共線(xiàn)，而點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為

由消去得，即

根據(jù)條件可知 解得

設(shè)，則根據(jù)韋達(dá)定理得

又由

從而 消去

令

由于所以.上是減函數(shù).

從而

，解得，而，

因此直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍是

考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)與橢圓的綜合問(wèn)題.