Question

已知函數(shù)h(x)=ln(x+

3

2

)，g(x)=lnx，f(x)=

a

x

(a＞0)．
（Ⅰ）求函數(shù)G（x）=h（x）+f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=2，問是否存在實數(shù)t＞0，使得函數(shù)F（x）=h（x）-tg（x）+f（x）有兩個相異的零點？若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別把f（x）和h（x）的解析式代入G（x）中，求出函數(shù)的定義域及G′（x）=0時x的值，令導函數(shù)大于0解出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間，令導函數(shù)小于0求出x的值即為函數(shù)的減區(qū)間；
（II）先假設存在t符合條件，根據(jù)題意求出F（x）的解析式和定義域，再進行求導并對其整理，再由定義域和條件進行轉(zhuǎn)化：(1-t)x2-

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2

tx-2=0有兩個相異的正實根，利用韋達定理表示出兩根之和、積，并判斷出符號，再對t分類討論進行說明．

解答：解：（Ⅰ）由題意G(x)=ln(x+

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2

)+

a

x

，
∴G（x）的定義域為{x| x＞-

3

2

且x≠0}，

∵G/(x)= 1 (x+ 3 2 ) - a x2

=

x2-ax- 3 2 a x2(x+ 3 2 )

，
由G^′（x）=0得，x2-ax-

3

2

a=0，

∵a＞0

，∴

△=a2+6a＞0

，
∴

x1= a- a2+6a 2 ＞- 3 2

，

x2= a+ a2+6a 2 ＞0

，
由G^′（x）＞0得，

x＜x1

或

x＞x2

；由G^′（x）＞0得，

x1 ＜ x＜x2

，且x≠0，
∴G（x）在

(- 3 2 ， a- a2+6a 2 )，( a+ a2+6a 2 ，+∞)

上是增函數(shù)，
在

( a- a2+6a 2 ，0)，(0， a+ a2+6a 2 )

上是減函數(shù)；
（Ⅱ）假設存在實數(shù)t＞0，使得函數(shù)F(x)=ln(x+

3

2

)+

2

x

-tlnx（x＞0）有
相異的零點為x₁，x₂，則x₁＞0，x₂＞0，
∴F′(x)=

1

x+ 3 2

-

t

x

-

2

x2

=

x2-tx(x+ 3 2 )-2

x2(x+ 3 2 )

=

(1-t)x2- 3 2 tx-2

x2(x+ 3 2 )

，
令y=(1-t)x2-

3

2

tx-2，
由題意得，F(xiàn)^′（x）=0有兩個相異的正實根，
即(1-t)x2-

3

2

tx-2=0有兩個相異的正實根，
∴t≠1，且

x1+x2= 3t 2(1-t) ＞0 x1•x2= -2 1-t ＞0

，
∴當0＜t＜1時，有1-t＞0，則

x1+x2= 3t 2(1-t) ＞0 x1•x2= -2 1-t ＜0

，故舍去；
當t＞1時，有1-t＜0，則

x1+x2= 3t 2(1-t) ＜0 x1•x2= -2 1-t ＞0

，故舍去，

綜上，不存在t＞0滿足條件．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查存在性問題，突出考查構(gòu)造函數(shù)與轉(zhuǎn)化，分類討論數(shù)學思想及綜合分析與運算的能力，屬于難題．