Question

如圖所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是邊長為1的正方形．點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試在AB上找一點(diǎn)G，使得平面PAC∥平面EFG．求此時(shí)AG的長度；
（2）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)G為AB中點(diǎn)時(shí)，平面PAC∥平面EFG，連接GF，GE，證明GE∥平面PAC，EF∥平面PAC即可；
（2）無論點(diǎn)E在邊BC的何處，證明AF⊥平面PBC，從而都有PE⊥AF．

解答：（1）解：當(dāng)G為AB中點(diǎn)時(shí)，平面PAC∥平面EFG，連接GF，GE，
∵G為AB中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，
∴GE∥AC，
∵GE?平面PAC，AC?平面PAC，
∴GE∥平面PAC，
同理EF∥平面PAC，
∵GE∩EF=E，
∴平面PAC∥平面EFG，此時(shí)，AG=

1

2

；
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥BC，
∵PA=AB=1，F(xiàn)為PB的中點(diǎn)，
∴AF⊥PB，
∵BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB，
∵AF?平面PAB，
∴BC⊥AF，
∵BC∩PB=B，AF⊥PB，BC⊥AF，
∴AF⊥平面PBC，
∵PE?平面PBC，
∴AF⊥PE．

點(diǎn)評：本題考查線面平行，面面平行的判定，考查線面垂直，線線垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．