Question

16．已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax²-2bx-a+b，x∈[0，1]．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若-1≤f（x）≤1對任意的x∈[0，1]恒成立，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)，再分類討論：當b≤0時，f′（x）＞0在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a-b|﹢a；當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，此時最大值為：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a，由此可得結論；
（2）由（1）知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a，且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．根據(jù)-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，可得|2a-b|﹢a≤1，從而利用線性規(guī)劃知識，可求a+b的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=12a（x-$\frac{6a}$）
當b≤0時，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此時最大值為：f（1）=|2a-b|﹢a；
當b＞0時，在0≤x≤1上的正負性不能判斷，f'（x）在區(qū)間[0，1]先負后可能正，f（x）圖象在[0，1]區(qū)間內是凹下去的，所以最大值正好取在區(qū)間的端點，此時最大值為：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；
綜上所述：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a；
（2）由（1）知：函數(shù)在0≤x≤1上的最大值為|2a-b|﹢a，且函數(shù)在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．
∵-1≤f（x）≤1對x∈[0，1]恒成立，
∴|2a-b|﹢a≤1．
取b為縱軸，a為橫軸，則可行域為：$\left\{\begin{array}{l}{b≥2a}\\{b-a≤1}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{b＜2a}\\{3a-b≤1}\end{array}\right.$，目標函數(shù)為z=a+b．
作圖如右：
由圖易得：a+b的取值范圍為（-1，3]．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，綜合性，難度大．