Question

在△ABC中，若三邊a，b，c成等差數(shù)列，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，則△ABC的形狀是________三角形．（填寫“等腰”、“等邊”、“直角”或“等腰直角”之一）

Answer 1

等邊
分析：由三角形的三邊成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到a+c=2b，記作①，再由sinA，sinB及sinC成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到一個(gè)關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②消去b得到關(guān)于a與c的關(guān)系式，變形可得出a=c，從而得到a，b及c都相等，故三角形為等邊三角形．
解答：∵三邊a，b，c成等差數(shù)列，∴a+c=2b①，
又sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，
∴sin²B=sinA•sinC，
根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得：b²=ac②，
由①得：b=，代入②得：
=ac，即（a-c）²=0，
∴a=c，故b=a=c，
則三角形為等邊三角形．
故答案為：等邊
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識(shí)有等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理以及等邊三角形的判定，靈活運(yùn)用等差及等比數(shù)列的性質(zhì)及正弦定理得出關(guān)于三角形三邊的兩關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．