(2011•開封一模)選修4-1:幾何證明選講
如圖:AB是⊙O的直徑,C、F為⊙O上的點(diǎn),CA是∠BAF的角平分線,過點(diǎn)C作CD⊥AF,交AF的延長線于D點(diǎn),CM⊥AB,垂足為M,求證:
(I)DC是⊙O的切線;
(II)MB=DF.
分析:(I)連接OC,則∠OAC=∠OCA,利用角平分線的性質(zhì)可得∠OCA=∠OAC=∠CAF,于是OC∥AD.再利用已知AD⊥CD,可得OC⊥CD.利用切線的判定定理即可.
(II)連接BC、FC,可得A、B、C、F四點(diǎn)共圓,可得∠CFD=∠CBM,又CD=CM,∠CDF=∠CMB.于是RT△CDF≌RT△CMB,即可得出.
解答:證明:(I)連接OC,則∠OAC=∠OCA,
又∵CA是∠BAF的角平分線,∴∠OCA=∠OAC=∠CAF,
∴OC∥AD.
又∵AD⊥CD,∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切線;
(II)連接BC、FC,∵A、B、C、F四點(diǎn)共圓,
∴∠CFD=∠CBM,又CD=CM,∠CDF=∠CMB.
∴RT△CDF≌RT△CMB,∴MB=DF.
點(diǎn)評:熟練掌握角平分線的性質(zhì)、平行線的判定方法、切線的判定定理、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、三角形的全等判定方法等是解題的關(guān)鍵.
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