【題目】已知圓C:x2+y2﹣6x﹣8y﹣5t=0,直線l:x+3y+15=0.
(1)若直線l被圓C截得的弦長為 ,求實數(shù)t的值;
(2)當t=1時,由直線l上的動點P引圓C的兩條切線,若切點分別為A,B,則在直線AB上是否存在一個定點?若存在,求出該定點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:圓C的方程可化為(x﹣3)2+(y﹣4)2=25+5t

故圓心為C(3,4),半徑

則圓心C到直線l的距離為

又弦長為 ,則 ,解得t=15


(2)解:當t=1時,圓C的方程為x2+y2﹣6x﹣8y﹣5=0①

則圓心為C(3,4),半徑 ,圓C與直線l相離假設(shè)在直線AB上存在一個定點滿足條件,設(shè)動點P(m,n)

由已知得PA⊥AC,PB⊥BC

則A,B在以CP為直徑的圓(x﹣3)(x﹣m)+(y﹣4)(y﹣n)=0

即x2+y2﹣(3+m)x﹣(4+n)y+3m+4n=0上②

①﹣②得,直線AB的方程為(m﹣3)x+(n﹣4)y﹣3m﹣4n﹣5=0③

又點P(m,n)在直線l上,則m+3n+15=0,即m=﹣3n﹣15,代入③式

得(﹣3n﹣18)x+(n﹣4)y+9n+45﹣4n﹣5=0

即直線AB的方程為18x+4y﹣40+n(3x﹣y﹣5)=0

因為上式對任意n都成立,故 ,得

故在直線AB上存在一個定點,定點坐標為(2,1)


【解析】(1)根據(jù)直線和圓相交,利用弦長公式進行求解即可.(2)利用直線和圓相切的條件,建立方程關(guān)系進行求解判斷.

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