Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記二次函數(shù)f（x）=x²+2x-1（x∈R）與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，其中與x軸的交點(diǎn)為A，B．經(jīng)過三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)P為圓C上一點(diǎn)，若直線PA，PB分別交直線x=2于點(diǎn)M，N，則以MN為直徑的圓是否經(jīng)過線段AB上一定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得x²+Dx+F=0，由題意求出D、F，求出f（0）的值后代入圓的方程求出F，可得圓C的方程；
（2）由f（x）=0得求出A、B的坐標(biāo)，由條件設(shè)出PA、PB的方程和點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，由結(jié)論求出MN為直徑的圓方程，根據(jù)點(diǎn)P的任意性列出方程組，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得x²+Dx+F=0，則與x²+2x-1=0 是同一個(gè)方程，
所以D=2，F(xiàn)=-1，
由f（x）=x²+2x-1得，f（0）=-1，
令x=0 得y²+Ey+F=0，則此方程有一個(gè)根為-1，
代入解得E=0，
所以圓C 的方程為x²+y²+2x-1=0；  …6分
（2）由f（x）=x²+2x-1=0得，x=$-\sqrt{2}-1$或x=$\sqrt{2}-1$，
不妨設(shè)A（$-\sqrt{2}-1$，0），B（$\sqrt{2}-1$，0），
設(shè)直線PA的方程：y=k（x+$\sqrt{2}$+1），
因以MN為直徑的圓經(jīng)過線段AB上點(diǎn)，
所以直線PB的方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\sqrt{2}+1）$，
設(shè)M（2，k（3+$\sqrt{2}$）），N（2，$-\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）$），
所以MN為直徑的圓方程為$（x-2）^{2}+[y-k（3+\sqrt{2}）][y+\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）]=0$，
化簡(jiǎn)得，${（x-2）}^{2}+{y}^{2}-7-k（3+\sqrt{2}）y+\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）y=0$，
由P點(diǎn)任意性得：$\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}-7=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得x=$2±\sqrt{7}$，
因?yàn)?-\sqrt{2}-1≤x≤\sqrt{2}-1$，所以x=$2-\sqrt{7}$，
即過線段AB上一定點(diǎn)（$2-\sqrt{7}$，0）…16分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，待定系數(shù)法求圓的方程，以及圓過定點(diǎn)問題，考查化簡(jiǎn)、變形能力．