Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3-a，a∈R．
（1）求a的取值范圍，使y=f（x）在閉區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)；
（2）當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)y=f（x）的最大值是關(guān)于a的函數(shù)m（a）．求m（a）；
（3）求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈[1，2]，恒有|f（x）|≤4成立．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間外，列出關(guān)系式求出a的范圍即可．
（2）當(dāng)0≤x≤2時，函數(shù)y=f（x）的最大值是關(guān)于a的函數(shù)m（a）．通過對稱軸以及區(qū)間的中點值比較，直接求出m（a）的表達式即可；
（3）對任意的x∈[1，2]，恒有|f（x）|≤4成立，轉(zhuǎn)化為不等式，通過x=1與x不等于1，分別求解，列出a的不等式，通過函數(shù)的最值即可取得a的范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)的圖象的對稱性為：x=-

a

2

，
∵f（x）在閉區(qū)間[-1，3]上是單調(diào)函數(shù)，
∴-

a

2

≤-1或-

a

2

≥3
∴a≤-6或a≥2．
（2）當(dāng)-

a

2

≤1即a≥-2時，m（a）=f（2）=7+a，
當(dāng)-

a

2

＞1即a＜-2時，m（a）=f（0）=3-a，
∴m(a)=

3-a，a＜-2 7+a，a≥-2

．
（3）|f（x）|≤4即：|x²+ax+3-a|≤4在x∈[1，2]時恒成立，
即-4≤x²+ax+3-a≤4在x∈[1，2]時恒成立，
即-x²-7≤a（x-1）≤1-x²在x∈[1，2]時恒成立，當(dāng)x=1時，顯然成立，
當(dāng)1＜x≤2時，

-x2-7

x-1

≤a≤-x-1x∈（1，2]時恒成立，

-x2-7

x-1

=-(x-1)-2-

8

x-1

≤-2-4

2

，當(dāng)x=2

2

-1時取等號，-2＜-x-1，x∈（1，2]
∴-2-4

2

≤a≤2．

點評：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的對稱性與函數(shù)的最值的關(guān)系，函數(shù)恒成立問題的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．