Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0，
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=4（

an

n

）²，求數(shù)列{（-1）ⁿb_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）設(shè)C_n=2ⁿ（

n

an

-λ），若數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）對(duì)已知等式整理成數(shù)列遞推式，然后用疊乘法，求得S_n，最后利用a_n=S_n-S_n-1求得答案．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中a_n，求得b_n，設(shè)出C_n，分n為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)的T_n．
（Ⅲ）根據(jù)數(shù)列為遞減數(shù)列，只需滿足C_n+1-C_n＜0，求得

4

n+2

-

2

n+1

的最大值，即可求得λ的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知

Sn+1

Sn

=

n+3

n

，且S₁=a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，
S_n=S₁•

S2

S1

•

S3

S2

…•

Sn

Sn-1

=1•

4

1

•

5

2

•…•

n+2

n-1

=

n(n+1)(n+2)

6

，
S₁也適合，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

2

，且a₁也適合，
∴a_n=

n(n+1)

2

．
（Ⅱ）b_n=4（

an

n

）²=（n+1）²，設(shè)C_n=（-1）ⁿ（n+1）²，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∵C_n-1+C_n=（-1）^n-1•n²+（-1）ⁿ•（n+1）²=2n+1，
T_n=（C₁+C₂）+（C₃+C₄）+…（C_n-1+C_n）=5+9+…+（2n-1）=

n 2 [5+(2n+1)]

2

=

n(n+3)

2

，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，T_n=T_n-1+C_n=

(n-1)(n+2)

2

-（n+1）²=-

n2+3n+4

2

，且T₁=C₁=-4也適合．
綜上得T_n=

- n2+3n+4 2 (n為奇數(shù)) n(n+3) 2 (n為偶數(shù))

（Ⅲ）∵C_n=2ⁿ（

n

an

-λ），使數(shù)列{C_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，
則C_n+1-C_n=2ⁿ（

4

n+2

-

2

n+1

-λ）＜0，對(duì)n∈N^*都成立，
則（

4

n+2

-

2

n+1

）_max＜λ，
∵

4

n+2

-

2

n+1

=

2n

(n+1)(n+2)

=

2

n+3+ 2 n

，
當(dāng)n=1或2時(shí)，（

4

n+2

-

2

n+1

）_max=

1

3

，
∴λ＞

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和問(wèn)題，求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題．對(duì)于利用a_n=S_n-S_n-1一定要a₁對(duì)進(jìn)行驗(yàn)證．