Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，S_n=ta_n+1 （n∈N₊，t∈R）．
（1）求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（1）通過已知條件，利用a_n+1=S_n+1-S_n，通過數(shù)列的定義證明數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，然后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）寫出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n的表達(dá)式，通過錯(cuò)位相減法求出T_n與S_n的關(guān)系式，利用（1）的結(jié)果，求出T_n．

解答：解：（1）∵S_n=ta_n+1，∴當(dāng)n=1時(shí)，S₁=ta₂=a₁=1，∴t≠0，
又a_n+1=S_n+1-S_n，∴S_n=t（S_n+1-S_n），
∴S_n+1=

t+1

t

Sn，
∴當(dāng)t=-1時(shí)，S_n+1=0，n＞1，且S₁=a₁=1，
當(dāng)t≠-1時(shí)，數(shù)列{S_n}是等比數(shù)列，S_n=(

t+1

t

)n+1，
綜上S_n=

1                ，n=1 ( t+1 t )n+1   ，n≥2

．
（2）∵T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n   ①
∴T₁=1，n≥2時(shí)又由①可知a_n+1=

t+1

t

an，
a₂=

1

t

，∴

t+1

t

Tn=

t+1

t

a₁+2a₃+3a₄+…+na_n+1   ②
①-②得-

1

t

Tn=-

1

t

+2a₂+a₃+a₄+…+a_n-na_n+1 
=-

1

t

-a1+a2+（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-na_n+1 
=-1+S_n-n（S_n+1-S_n）
=-1+Sn-

n

t

Sn．
T_n=t-tS_n+nS_n=

1               n=1 t-(n-t)( t+1 t )n+1   n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，等比關(guān)系的確定，數(shù)列的求和的方法，考查計(jì)算能力．