Question

已知雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，實軸長為2．一條斜率為1的直線經(jīng)過雙曲線的右焦點與雙曲線相交于A、B兩點，以AB為直徑的圓與雙曲線的右準(zhǔn)線相交于M、N．
（1）若雙曲線的離心率2，求圓的半徑；
（2）設(shè)AB中點為H，若

HM

•

HN

=-

16

3

，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出雙曲線方程，將直線方程代入，求出半徑即可．
（2）設(shè)出雙曲線方程，直線方程代入化簡為一元二次方程，并根據(jù)韋達定理化簡，最后求出c

解答：解：（1）設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)
由題知：a=1，

c

a

=2，∴c=2，∴b2=c2-a2=3
∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1右焦點F（2，0）
故直線l的方程為y=x-2代入x2-

y2

3

=1中得：2x²+4x-7=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1-x2=-2，x1•x2=-

7

2

∴|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=6
∴半徑r=3

（2）設(shè)雙曲線方程為x2-

y2

c2-1

=1，將y=x-c代入并整理得（c²-2）x²+2cx-2c²+1=0，
由韋達定理：x1+x2=

2c

2-c2

，x1x2=

1-2c2

2-c2

設(shè)H(x0，y0)，則x0=

1

2

(x1+x2)=

c

2-c2

?y0=x0-c=

c3-c

2-c2

設(shè)圓半徑為R且

HM

與

HN

的夾角為θ，
則R2cosθ=-

16

3

R=

1

2

|AB|=

2

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2|

c2-1

c2-2

|
∴cos

θ

2

=

x0- 1 c

R

=

1

c

∴cosθ=2cos2

θ

2

-1=

2-c2

c

代入R2cosθ=-

16

3

中
得：c²=3，
∴所求的雙曲線方程為x2-

y2

2

=1．

點評：本題考查圓錐曲線綜合運用，以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，平面向量的數(shù)量級運算，通過對多種知識的綜合理解，考查對知識的綜合運用能力，屬于中檔題．