Question

（本小題12分）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，離心率為，

且過(guò)點(diǎn).

（1）求雙曲線方程；

（2）若點(diǎn)在雙曲線上，求證：；

（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)，求的面積.

Answer 1

（1），（2）證明見(jiàn)解析，（3）

【解析】

試題分析：由于雙曲線的離心率為，所以雙曲線是等軸雙曲線，可設(shè)雙曲線方程為，過(guò)點(diǎn).代入后求出，得到雙曲線的方程；第二步，求出，由于在雙曲線上，即，可見(jiàn)，第三步依據(jù)面積公式，由，，代入求出三角形的面積 .

試題解析：（1）由題意，可設(shè)雙曲線方程為，

又雙曲線過(guò)點(diǎn)，解得

故雙曲線方程為.

（2）由（Ⅰ）可知，，， ∴ ，

∴ ，， ∴ ，

又點(diǎn)在雙曲線上，∴，

∴，即.

（3）,∴的面積為6．

考點(diǎn)：1.等軸雙曲線；2.平面向量數(shù)量積；3.三角形面積；