Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：?x∈D，?常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界．
（1）試判斷函數(shù)f（x）=x³+

3

x

在[

1

2

，3]上是否是有界函數(shù)？
（2）若某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S（t）=

1

t+1

+

1

2

a（t+1）²，要使對(duì)t∈[0，+∞）上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度S′（t）是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值即可得出．
（2）由|S′（t）|≤1，可得-1≤

-1

(t+1)2

+a(t+1)≤1．分離參數(shù)可得

1

(t+1)3

-

1

t+1

≤a≤

1

(t+1)3

+

1

t+1

，再利用導(dǎo)數(shù)分別研究左右兩邊的函數(shù)即可得出．

解答： 解：（1）令f′（x）=3x2-

3

x2

=

3(x+1)(x-1)(x2+1)

x2

=0，x∈[

1

2

，3]，解得x=1，
當(dāng)x∈[

1

2

，1]時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）在[

1

2

，3]上的最小值為f（1）=4，
又f（

1

2

）=

49

8

，f（3）=28．
∴當(dāng)x∈[

1

2

，3]時(shí)，f（1）≤f（x）≤f（3），即 4≤f（x）≤28．
∴存在常數(shù)M=28等使得?x∈[

1

2

，3]，都有|f（x）|＜0≤M成立．
故函數(shù)函數(shù)f（x）=x³+

3

x

在[

1

2

，3]上是有界函數(shù)．
（2）∵S′（t）=

-1

(t+1)2

+a(t+1)．
由|S′（t）|≤1，得|

-1

(t+1)2

+a(t+1)|≤1，
∴-1≤

-1

(t+1)2

+a(t+1)≤1．
∴

1

(t+1)3

-

1

t+1

≤a≤

1

(t+1)3

+

1

t+1

，
①令g（t）=

1

(t+1)3

+

1

t+1

，顯然g（t）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
且當(dāng)t→+∞時(shí)，g（x）→0．
∴a≤0．
②令

1

t+1

=m∈（0，1]，h（m）=m³-m，h′（m）=3m²-1=0，解得m=

3

3

，
當(dāng)m∈[

3

3

，1]時(shí)，函數(shù)h（m）單調(diào)遞增，h（m）≤h（1）=0，
則當(dāng)m=1即t=0時(shí)，h（m）_max=h（1）=0，
∴a≥0
綜上可得a=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性極值與最值、“有界函數(shù)”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．