Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=-1，an+1=

(3n+3)an+4n+6

n

．
（1）求數(shù)列（a_n）的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=

3n-1

an+2

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：當(dāng)n≥2時(shí)Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

)；
（4）證明：bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

（5）．

Answer 1

分析：（1）將已知關(guān)系式兩邊同除以n（n+1）變形

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

、整理、轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列問題解決．
（2）由（1）能知bn=

1

n

，但數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n無法進(jìn)一步化簡，因此考慮利用b_n，S_n的關(guān)系bn=

S1      n=1 Sn-Sn-1    n≥2

進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化求證．
（3）是與自然數(shù)有關(guān)的不等式命題，用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（1）由已知得na_n+1=3（n+1）a_n+4n+6，兩邊同除以n（n+1）得：

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

，所以

an+1+2

n+1

=3

an+2

n

，
所以{

an+2

n

}是首項(xiàng)為1，公比為q=3的等比數(shù)列．
所以

an+2

n

=3n-1．∴a_n=n•3^n-1-2
（2）由（1）知bn=

1

n

．
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=

1

n

即Sn-

1

n

=Sn-1．
兩邊平方得Sn2-Sn-12=

2Sn

n

-

1

n2

，Sn-12-Sn-22=

2Sn-1

n-1

-

1

(n-1)2

，Sn-22-Sn-32=

2Sn-2

n-2

-

1

(n-2)2

，
┅┅S22-S12=

2S2

2

-

1

22

相加得Sn2-1=2(

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)
又1-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)＞1-(

1

1×2

+

1

2×3

++

1

n(n-1)

)=

1

n

＞0∴Sn2＞2(

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

)．
（3）（數(shù)學(xué)歸納法）
當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

4

5

-

1

2n+1

＜

4

5

．
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)命題也成立，即

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

則當(dāng)n=k+1時(shí)

1

k+2

+

1

k+3

++

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+3

＜

4

5

所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，
故原不等式成立．

點(diǎn)評：（1）以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，構(gòu)造等比數(shù)列，求出了數(shù)列（a_n）的通項(xiàng)公式．（2）利用b_n，S_n的關(guān)系解決，避免了繁瑣的S_n的計(jì)算式表示（3）要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明題中的運(yùn)用．三個(gè)問題跨度大，思維跳躍性強(qiáng)．是難題．