【題目】如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,四邊形ABCD為菱形,四邊形ADEF為矩形,M、N分別是EF、BC的中點(diǎn),AB=2AF=2,∠CBA=60°.

(1)求證:AN⊥DM;
(2)求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值;
(3)求三棱錐D﹣MAN的體積.

【答案】
(1)證明:連接AC,在菱形ABCD中,

∵∠CBA=60°且AB=BC,∴△ABC為等邊三角形.

∵N為BC的中點(diǎn),∴AN⊥BC,

又∵BC∥AD,∴AN⊥AD,

∵平面ABCD⊥平面ADEF,AN平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD

∴AN⊥平面ADEF,

∵DM平面ADEF,

∴AN⊥DM;


(2)解:由(1)知,NA⊥平面ADEF,

∴∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角,

∵四邊形ADEF為矩形,AD=2AF=2,M是EF的中點(diǎn),

∴AF=FM=1,

∴△AMF為等腰直角三角形,

∴AM= ,

∵△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且N是BC的中點(diǎn),

∴AN=

在Rt△NAM中,tan∠NMA= =


(3)解:∵四邊形ADEF為矩形,M是EF的中點(diǎn),AB=2AF=2,

∴ME=DE=1,且DM=AM=

∴AD2=AM2+DM2,

∴∠AMD=90°,

∴SAMD= =1.

由(1)NA⊥平面ADEF,

∴三棱錐D﹣MAN的體積=三棱錐N﹣MAD的體積= =


【解析】(1)連接AC,證明AN⊥AD,利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明AN⊥平面ADEF,即可證明AN⊥DM;(2)由(1)知,NA⊥平面ADEF,可得∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角,求出AN,AM,即可求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值;(3)利用三棱錐D﹣MAN的體積=三棱錐N﹣MAD的體積,即可求三棱錐D﹣MAN的體積.
【考點(diǎn)精析】利用空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;

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A.
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(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求 + +…+ 的值.

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B.y=﹣sin2x
C.
D.

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(1)求橢圓的方程;
(2)若C、D分別是橢圓長(zhǎng)的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點(diǎn)P.證明: 為定值.
(3)在(2)的條件下,試問(wèn)x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線DP、MQ的交點(diǎn),若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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82

82

79

95

87

95

75

80

90

85


(1)請(qǐng)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)從甲、乙兩人的成績(jī)中各隨機(jī)抽取一個(gè),求甲的成績(jī)比乙高的概率;
(3)現(xiàn)要從中選派一人參加9月份的全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽,從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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