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7.已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-λ,等差數(shù)列{bn}滿足b1=a1,b1+b2+b3=9.
(1)求λ的值,并求{an},{bn}的通項公式;
(2)若cn=Sn+1SnSn+1,設數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,證明Tn<1.

分析 (1)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)由(1)可得:Sn=2n-1.cn=2n2n12n+11=12n1-12n+11,利用“裂項求和”方法即可得出.

解答 (1)解:由等比數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-λ,
可得:a1=2-λ,a1+a2=22-λ,a1+a2+a3=23-λ,
解得:a1=2-λ,a2=2,a3=4,
∴公比q=a3a2=2,∴2=2×(2-λ),解得λ=1.
∴a1=1,an=2n-1
∵設等差數(shù)列{bn}的公差為d,∵b1=a1,b1+b2+b3=9.
∴b1=1,3+3d=9,解得d=2.
∴bn=1+2(n-1)=2n-1.
(2)證明:由(1)可得:Sn=2n-1.
cn=Sn+1SnSn+1=2n2n12n+11=12n1-12n+11,
∴數(shù)列{cn}的前n項和為Tn=1211221+12211231+…+12n112n+11=1-12n+11<1.
∴Tn<1.

點評 本題考查了遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法、不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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