【題目】已知圓C:x2+y2﹣4y+1=0,點M(﹣1,﹣1),從圓C外一點P向該圓引一條切線,記切點為T.
(1)若過點M的直線l與圓交于A,B兩點且|AB|=2,求直線l的方程;
(2)若滿足|PT|=|PM|,求使|PT|取得最小值時點P的坐標.
【答案】(1)x=﹣1或4x﹣3y+1=0;(2)(,)
【解析】
(1)首先判斷斜率不存在時,符合題意.當斜率存在時,設出直線的方程,利用弦長列方程,解方程求得直線的斜率,進而求得直線方程.
(2)設出點的坐標,根據切線長以及列方程,化簡后求得的軌跡方程,將最小轉化為到直線的距離,求得垂直直線時直線的方程,和聯立求得點坐標.
(1)圓C的標準方程為x2+(y﹣2)2=3.
當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=﹣1,
此時|AB|=2,滿足題意;
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y+1=k(x+1),即kx﹣y+k﹣1=0.
∵|AB|=2,
∴圓心C到直線l的距離d1.
∴d1.
解得k,
則直線l的方程為4x﹣3y+1=0.
∴所求直線l的方程為x=﹣1或4x﹣3y+1=0;
(2)設P(x0,y0),|PT|,
∵|PT|=|PM|,∴,
化簡得2x0+6y0+1=0,
∴點P(x0,y0)在直線2x+6y+1=0.
當|PT|取得最小值時,即|PM|取得最小值,
即為點M(﹣1,﹣1)到直線2x+6y+1=0的距離,
此時直線PM垂直于直線2x+6y+1=0,
∴直線PM的方程為6x﹣2y+4=0,即3x﹣y+2=0.
由 ,解得 ,
∴點P的坐標為(,).
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【題目】若采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊擊中目標的概率.先由計算器給出0到9之間取整數的隨機數,指定0,1,2,3表示沒有擊中目標,4,5,6,7,8,9表示擊中目標,以4個隨機數為一組,代表射擊4次的結果,經隨機模擬產生了20組如下的隨機數:
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根據以上數據估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________.
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【題目】已知函數f(x).
(1)畫出函數f(x)的圖象,根據圖象直接寫出f(x)的值域;
(2)根據圖象直接寫出滿足f(x)≥2的所有x的集合;
(3)若f(x)的遞減區(qū)間為(﹣∞,a),遞增區(qū)間為(b,+∞),直接寫出a的最大值,b的最小值.
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【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E、F分別是PC、AD中點,
(1)求證:DE//平面PFB;
(2)求PB與面PCD所成角的正切值。
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【題目】大豆,古稱菽,原產中國,在中國已有五千年栽培歷史。皖北多平原地帶,黃河故道土地肥沃,適宜種植大豆。2018年春,為響應中國大豆參與世界貿易的競爭,某市農科院積極研究,加大優(yōu)良品種的培育工作。其中一項基礎工作就是研究晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關系。為此科研人員分別記錄了5天中每天100粒大豆的發(fā)芽數得如下數據表格:
科研人員確定研究方案是:從5組數據中選3組數據求線性回歸方程,再用求得的回歸方程對剩下的2組數據進行檢驗.
(1)求剩下的2組數據恰是不相鄰的2天數據的概率;
(2)若選取的是4月5日、6日、7日三天數據據此求關于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數據與實際數據的誤差絕對值均不超過1粒,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,請檢驗(Ⅱ)中回歸方程是否可靠?
注: ,.
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【題目】已知點直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之和為2.
(1)設且,求的表達式,并寫出函數的定義域;
(2)判斷函數的奇偶性?并給出證明;
(3)試用函數單調性的定義證明:在定義域上不是增函數,但在(0,1)∪(1,+)上為增函數.
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