精英家教網(wǎng)如圖,四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,AD=2BC=2CD=2,側(cè)面APD為等腰直角三角形,∠APD=90°,平面PAD⊥底面ABCD,若
EC
PC
,λ∈(0,1).
(1)求證:PA⊥DE;
(2)若二面角E-BD-A的余弦值為-
3
3
,求實數(shù)λ的值.
分析:(1)要證PA⊥DE,只證明PA⊥平面PDC,由平面PAD⊥底面ABCD,DC⊥DA可得DC⊥平面PDA,從而可得DC⊥PA,再由PA⊥PD,可得PA⊥平面PDC;
(2)過P點作AD的垂線交AD于點O,連接OB,以O(shè)點為坐標原點,OB為x軸正向,OD為y軸正向,OP為z軸正向,建立空間直角坐標系,寫出各點坐標并設(shè)E(x,y,z),由
EC
PC
可用λ表示出點E坐標,求出兩平面ADB、BDE的法向量,由二面角的余弦值可得法向量夾角的余弦值得關(guān)于λ的方程;
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:∵AD⊥DC,平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴DC⊥平面PAD,
∵PA?平面PAD,∴DC⊥PA,
∵PA⊥PD,PD∩DC=D,∴PA⊥平面PDC,
又∵DE?平面PDC,
∴PA⊥DE;
(2)過P點作AD的垂線交AD于點O,連接OB,
以O(shè)點為坐標原點,OB為x軸正向,OD為y軸正向,OP為z軸正向,建立空間直角坐標系,
如圖所示:
則:A(0,-1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),E(x,y,z),
PC
=(1,1,-1),
EC
=(1-x,1-y,-z),
EC
PC
,得
1-x=λ
1-y=λ
z=λ
,∴E(1-λ,1-λ,λ),
顯然,面ABD的一個法向量為
n
=(0,0,1),
設(shè)面EBD的法向量為
m
=(x,y,z),
BD
=(-1,1,0),
BE
=(-λ,1-λ,λ),
m
BD
=0
m
BE
=0
,則
-x+y=0
-xλ+y(1-λ)+zλ=0
,
x=1
y=1
z=
2λ-1
λ
,則
m
=(1,1,
2λ-1
λ
)

由二面角E-BD-A的余弦值為-
3
3
,得|cos<
m
,
n
>|=
3
3
,即|
m
n
|
m
||
n
|
|=|
2λ-1
λ
1+1+(
2λ-1
λ
)2
|=
3
3
,
又λ∈(0,1),∴解得λ=
1
3
;
點評:本題考查空間中直線與直線垂直的判定、二面角的求解,考查學生的推理論證能力、空間想象能力及運算求解能力,屬中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點.求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點.
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點F是PB中點.
(Ⅰ)若E為BC中點,證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點,證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大;當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動點Q的軌跡方程.

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