Question

8．已知點A（1，0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{m}$$-\frac{{y}^{2}}{n}$=1上的點，且雙曲線的焦點在x軸上．
（1）若n∈N^*，雙曲線的離心率e$＜\sqrt{3}$，求雙曲線的方程．
（2）過（1）中雙曲線的右焦點作直線l，該直線與雙曲線交于A，B兩點，直線l與x軸上的夾角為a，若弦長為|AB|=4，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得m=1，n＞0，n∈N^*，運用離心率公式，解不等式可得n的值，進而得到雙曲線的方程；
（2）雙曲線的右焦點為（$\sqrt{2}$，0），若夾角為90°，即有直線l：x=$\sqrt{2}$，代入雙曲線的方程，可得弦長，不合題意；設(shè)直線l：y=tanα（x-$\sqrt{2}$），代入雙曲線的方程，運用韋達定理和弦長公式，解方程即可得到夾角．

解答 解：（1）由題意可得m=1，n＞0，n∈N^*，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{1+n}}{1}$＜$\sqrt{3}$，可得n＜2，即有n=1．
則雙曲線的方程為x²-y²=1；
（2）雙曲線的右焦點為（$\sqrt{2}$，0），
若夾角為90°，即有直線l：x=$\sqrt{2}$，
代入雙曲線的方程，可得y=±1，
弦長AB=2，不合題意舍去；
設(shè)直線l：y=tanα（x-$\sqrt{2}$），
代入雙曲線的方程可得，
（1-tan²α）x²+2$\sqrt{2}$tan²αx-2tan²α-1=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{2}ta{n}^{2}α}{1-ta{n}^{2}α}$，x₁x₂=$\frac{-2ta{n}^{2}α-1}{1-ta{n}^{2}α}$，
由弦長公式可得|AB|=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+ta{n}^{2}α}$•$\sqrt{\frac{8ta{n}^{4}α}{（1-ta{n}^{2}α）^{2}}-\frac{-8ta{n}^{2}α-4}{1-ta{n}^{2}α}}$=4，
解方程可得tan²α=3或$\frac{1}{3}$，
即有tanα=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負的舍去），
可得夾角為60°或30°．

點評 本題考查雙曲線的方程的運用，考查離心率的運用，以及直線和雙曲線的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題．