Question

已知邊長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，P是棱CC₁上任一點(diǎn)，CC₁=m，（0＜m＜2）．
（1）是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁？若存在，求出m的值；不存在，說明理由．
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得三棱錐B-PAC和四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的體積相等？存在，求出m的值；不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）存在m=1，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁，連接AC，AC₁，BD₁，設(shè)AC₁∩BD₁=H，由H是AC₁的中點(diǎn)，連接PH，進(jìn)而由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理可得答案；
（2）存在m=

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，使三棱錐B-PAC和四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的體積相等，由三棱錐B-PAC即四棱錐P-ABC和四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的底面積之比為1：2，三棱錐B-PAC和四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的體積相等，可得：兩個(gè)棱錐的高之比應(yīng)為：2：1，即PC：PC₁=2：1，即m：（2-m）=2：1，解得答案．

解答： 解：（1）存在m=1，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁，理由如下：

連接AC，AC₁，BD₁，設(shè)AC₁∩BD₁=H，
由H是AC₁的中點(diǎn)，連接PH，
由m=1時(shí)，P為CC₁的中點(diǎn)，可得PH是△C₁AC的中位線，
則PH∥AC，
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，BD∩BB₁=B，BD，BB₁?面BDD₁B₁，
∴AC⊥面BDD₁B₁，
∴PH⊥面BDD₁B₁，
又∵PH?平面BPD₁，
∴平面BPD₁⊥面BDD₁B₁；
（2）存在m=

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，使三棱錐B-PAC和四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的體積相等，理由如下：
∵三棱錐B-PAC即四棱錐P-ABC和四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的底面積之比為1：2，
若三棱錐B-PAC和四棱錐P-A₁B₁C₁D₁的體積相等，
則兩個(gè)棱錐的高之比應(yīng)為：2：1，
即PC：PC₁=2：1，
即m：（2-m）=2：1，
解得：m=

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點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，難度中檔．