Question

設(shè)集合W由滿足下列兩個(gè)條件的數(shù)列{a_n}構(gòu)成：①

an+an+2

2

＜an+1；②存在實(shí)數(shù)M，使a_n≤M．（n為正整數(shù)）
（Ⅰ）在只有5項(xiàng)的有限數(shù)列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1；試判斷數(shù)列{a_n}、{b_n}是否為集合W中的元素；
（Ⅱ）設(shè){c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，c3=

1

4

，S3=

7

4

，試證明{S_n}∈W，并寫出M的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{d_n}∈W，對(duì)于滿足條件的M的最小值M₀，都有d_n≠M(fèi)₀（n∈N^*）．求證：數(shù)列{d_n}單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：（Ⅰ）檢驗(yàn)這2個(gè)數(shù)列中的各項(xiàng)是否滿足①②2個(gè)條件．
（Ⅱ）{c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，求出公比和首項(xiàng)，得到通項(xiàng)公式，再計(jì)算其前n項(xiàng)和S_n，
判斷S_n是否滿足①②2個(gè)條件．
（Ⅲ）用反證法證明，若數(shù)列{d_n}非單調(diào)遞增，推出與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不對(duì)，命題得到證明．

解答：解：（Ⅰ）對(duì)于數(shù)列{a_n}，取

a1+a3

2

=2=a₂，顯然不滿足集合W的條件①，故{a_n}不是集合W中的元素．（2分）
對(duì)于數(shù)列{b_n}，當(dāng)n?{1，2，3，4，5}時(shí)，
不僅有

b1+b3

2

=3＜b2，

b2+b4

2

=4＜b3，

b3+b5

2

=3＜b4，
而且有b_n≤5，顯然滿足集合W的條件①②，故{b_n}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{c_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，c3=

1

4

，S3=

7

4

，設(shè)其公比為q＞0，
∴

c3

q2

+

c3

q

+c3=

7

4

，整理得，6q²-q-1=0
∴q=

1

2

，∴c1=1，cn=

1

2n-1

Sn=2-

1

2n-1

（7分）
對(duì)于“n∈N^*，有

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=Sn+1，且S_n＜2，
故{S_n}∈W，且M∈[2，+∞）．（9分）
（Ⅲ）證明：（反證）若數(shù)列{d_n}非單調(diào)遞增，則一定存在正整數(shù)k，使d_k≥d_k+1 成立，
當(dāng)n=m+1時(shí)，由

dm+dm+2

2

＜dm+1得  d_m+2＜2d_m+1-d_m，
而d_m+1-d_m+2＞d_m+1-（2d_m+1-d_m）=d_m-d_m+1≥0，所以d_m+1＞d_m+2 ．
顯然在d₁，d₂，…，d_k這k項(xiàng)中一定存在一個(gè)最大值，不妨記為dn0，
所以dn0≥dn(n∈N*)，從而dn0=M0．這與題設(shè)d_n≠M(fèi)₀（n∈N^*）相矛盾．
所以假設(shè)不成立，故命題得證．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于中檔題．