Question

如圖，已知四邊形MNOP是一個矩形，MN=

3

+1，MP=

3

，點C是邊MN上的一定點，且MC=1，點A，B分別是線段MP和線段NO上的動點，三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若

2a+b

c

=-

cosB

cosC

．
（1）求角C的大��；
（2）求△ABC面積的取值范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）已知等式變形后，利用正弦定理及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinA不為0求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）設∠MCA=θ，則∠NCB=

π

3

-θ，由∠MCP=

π

3

，∠NCO=

π

4

得到θ的范圍，利用三角形面積公式表示出三角形ABC面積，將表示出的a，b，sinC的值代入，整理后根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出面積的范圍．

解答： 解：（1）由

2a+b

c

=-

cosB

cosC

得：2acosC+bcosC+ccosB=0，
整理得：2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，
∴2sinAcosC+sin（B+C）=0，
∵sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosC=-

1

2

，
又0＜C＜π，
∴C=

2π

3

；
（2）設∠MCA=θ，則∠NCB=

π

3

-θ，由∠MCP=

π

3

，∠NCO=

π

4

得：

0≤θ≤ π 3 0≤ π 3 -θ≤ π 4

，
解得：

π

12

≤θ≤

π

3

，
又S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

1

cosθ

×

3

cos( π 3 -θ)

×

3

2

=

3

4

•

1

1 2 cos2θ+ 3 2 sinθcosθ

=

3

2

•

1

sin(2θ+ π 6 )+ 1 2

，
∵

π

3

≤2θ+

π

6

≤

5π

6

，
∴

1

2

≤sin（2θ+

π

6

）≤1，即1≤

3

2

•

1

sin(2θ+ π 6 )+ 1 2

≤

3

2

，
則△ABC的面積的取值范圍是[1，

3

2

]．

點評：此題考查了正弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．