Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{-{x}^{2}，x≥0}\end{array}\right.$，若2≤f（f（x））≤6，則實數(shù)x的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)t=f（x），結(jié)合分段函數(shù)的表達式進行求解即可．

解答 解：設(shè)t=f（x），則不等式等價為2≤f（t）≤6，
當(dāng)t≥0是，f（t）=-t²≤0，不滿足條件．
當(dāng)t＜0時，由2≤f（t）≤6，得2≤t²+t≤6，
即$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+t≥2}\\{{t}^{2}+t≤6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+t-2≥0}\\{{t}^{2}+t-6≤0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{t≥1或t≤-2}\\{-3≤t≤2}\end{array}\right.$，
得-3≤t≤-2或1≤t≤2，∵t＜0，
∴-3≤t≤-2，
當(dāng)x＜0時，得-3≤x²+x≤-2，$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+3≥0}\\{{x}^{2}+x+2≤0}\end{array}\right.$，此時無解，
當(dāng)x≥0時，得-3≤-x²≤-2，即2≤x²≤3，此時$\sqrt{2}$≤x≤$\sqrt{3}$，
故答案為：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$]

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．