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7.已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+\frac{π}{6})-1
(Ⅰ)求f(x)的周期和單調(diào)減區(qū)間;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[-\frac{π}{6},\frac{π}{4}]上的取值范圍.

分析 (Ⅰ)先利用輔助角公式或二倍角和兩角和余差的基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期,最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體,放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上,解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)x在[-\frac{π}{6},\frac{π}{4}]上,求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),求出f(x)的取值最大和最小值,即得到f(x)的取值范圍.

解答 解:函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+\frac{π}{6})-1
化簡可得:f(x)=4cosxsinxcos\frac{π}{6}+4cosx•cosxsin\frac{π}{6}-1=2\sqrt{3}sinxcosx+2cos2x-1=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin(2x+\frac{π}{6}
(Ⅰ)f(x)的周期T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π
令2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2},解得:kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3},(k∈Z);
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+\frac{π}{6},kπ+\frac{2π}{3}](k∈Z);
(Ⅱ):x在[-\frac{π}{6},\frac{π}{4}]上,
∴2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6},\frac{2π}{3}],
可得:sin(2x+\frac{π}{6})∈[-\frac{1}{2},1].
故f(x)∈[-1,2],
∴f(x)在區(qū)間[-\frac{π}{6},\frac{π}{4}]上的取值范圍是[-1,2].

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵.屬于中檔題.

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