Question

7．已知雙曲線$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{2}{\sqrt{a}}$x，由題意可得a=3，求出雙曲線的實半軸長為2，虛半軸長為$\sqrt{3}$，半焦距為$\sqrt{7}$，由離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=1（a＞0）的漸近線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{a}$=0，
即為y=±$\frac{2}{\sqrt{a}}$x，
由漸近線方程為y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，可得：
$\frac{2}{\sqrt{a}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可得a=3，
雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，
即有雙曲線的實半軸長為2，虛半軸長為$\sqrt{3}$，
半焦距為$\sqrt{7}$，
可得雙曲線的離心率為e=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．