Question

如圖，已知平面α∩平面β=MN，A∈α，B∈β，C∈MN且∠ACM=60°，∠BCN=45°，二面角A-MN-B=60°，AC=2．
（Ⅰ）求點(diǎn)A到平面β的距離；
（Ⅱ）設(shè)二面角A-BC-M的大小為θ，求tanθ的值．

Answer 1

分析：（I）由題意及圖形作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，連接OD，知∠ADO=60°，然后在直角三角形中求解即可；
（II）如圖，在β平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作直線BC的垂線，垂足為F，與直線MN交于E點(diǎn)，∠AOF為二面角A-BC-M的平面角，然后再三角形中求解即可．

解答：解：（Ⅰ）如圖，
作AO⊥β于O，AD⊥AN于D，連接OD，知∠ADO=60°，
在Rt△ADC中，易得AD=

3

CD=1，在Rt△ADO中，OD=

3

2

，AO=

3

×sin60°=

3

2

．
（Ⅱ）如圖，在β平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)O作直線BC的垂線，垂足為F，與直線MN交于E點(diǎn)，
易證∠AOF為二面角A-BC-M的平面角，
由已知得∠BCN=∠ECF=∠CEF=45°，
可求得OE=

6

2

，DE=DO=

3

2

，EC=1-

3

2

，EF=

2

2

×(1-

3

2

) =

2 2 - 6

4

，OF=OE+EF=

6

2

+

2 2 - 6?

4

=

2 2 + 6?

4

，
tanθ=

AO

OF

=

3 2

2 2 - 6? 4

=

6	2

-

3	6

．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了利用二面角平面角的概念及在三角形中求解角的大小，還考查了學(xué)生的空間想象能力及計(jì)算能力．