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1.已知向量a,滿足|a|=2,||=1,且對(duì)一切實(shí)數(shù)x,|a+x|≥|a+|恒成立,則a,的夾角的大小為2π3

分析 設(shè)向量a的夾角為θ,由數(shù)量積變形已知式子可得x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立,由△≤0和三角函數(shù)可得.

解答 解:設(shè)向量a,的夾角為θ,則a=2×1×cosθ=2cosθ,
∵對(duì)一切實(shí)數(shù)x,|a+x|≥|a+|恒成立,
∴對(duì)一切實(shí)數(shù)x,|a+x|2≥|a+\overrightarrow|2恒成立,
∴對(duì)一切實(shí)數(shù)x,a2+2xa+x2\overrightarrow2a2+2a+2恒成立,
代入數(shù)據(jù)可得對(duì)一切實(shí)數(shù)x,4+4xcosθ+x2≥4+4cosθ+1恒成立,
即有x2+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立,
∴△=16cos2θ+4(1+4cosθ)≤0,
整理可得(2cosθ+1)2≤0,又(2cosθ+1)2≥0,
∴(2cosθ+1)2=0,即2cosθ+1=0,
解得cosθ=-12,由θ∈[0,π]可得θ=2π3
故答案為:2π3

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積與夾角,涉及二次不等式恒成立問題,屬中檔題.

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