Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$，滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，則$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的大小為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，由數(shù)量積變形已知式子可得x²+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立，由△≤0和三角函數(shù)可得．

解答 解：設(shè)向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為θ，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2×1×cosθ=2cosθ，
∵對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|恒成立，
∴對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|$\overrightarrow{a}$+x$\overrightarrow$|²≥|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²恒成立，
∴對(duì)一切實(shí)數(shù)x，$\overrightarrow{a}$²+2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+x²$\overrightarrow$²≥$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²恒成立，
代入數(shù)據(jù)可得對(duì)一切實(shí)數(shù)x，4+4xcosθ+x²≥4+4cosθ+1恒成立，
即有x²+4xcosθ-1-4cosθ≥0恒成立，
∴△=16cos²θ+4（1+4cosθ）≤0，
整理可得（2cosθ+1）²≤0，又（2cosθ+1）²≥0，
∴（2cosθ+1）²=0，即2cosθ+1=0，
解得cosθ=-$\frac{1}{2}$，由θ∈[0，π]可得θ=$\frac{2π}{3}$
故答案為：$\frac{2π}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積與夾角，涉及二次不等式恒成立問題，屬中檔題．