【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AB=4,EC∥FD,F(xiàn)D⊥底面ABCD,M是AB的中點(diǎn).

(1)求證:平面CFM⊥平面BDF;
(2)若點(diǎn)N為線段CE的中點(diǎn),EC=2,F(xiàn)D=3,求證:MN∥平面BEF.

【答案】
(1)

證明:直角梯形ABCD中,AB∥CD,BC=2,AB=4,且M是AB的中點(diǎn),

∴BM=CD,∴四邊形BCDM是平行四邊形,

又BC=CD=2,∴平行四邊形BCDM是菱形;

∴BD⊥CM,

又FD⊥底面ABCD,CM平面BCDM,∴FD⊥CM,

且FD∩BD=D,

∴CM⊥平面BDF,

有CM平面CFM,

∴平面CFM⊥平面BDF;


(2)

過(guò)點(diǎn)N作NP∥EF,交DF與點(diǎn)P,連接PM,如圖所示;

∵EC∥FD,∴四邊形EFPN是平行四邊形,

又點(diǎn)N為線段CE的中點(diǎn),EC=2,F(xiàn)D=3,

∴FP= EC=1,

PD=EC=2,

∴PE∥CD,且PE=CD,

又BM∥CD,且BM=CD,

∴BM∥PE,且PE=BM,

∴四邊形BEPM為平行四邊形,

∴PM∥BE;

又PM平面BEF,BE平面BEF,∴PM∥平面BEF;

同理,PM∥平面BEF,

又PM∩PN=P,PM平面PMN,PN平面PMN,

∴平面PMN∥平面BEF,

又MN平面PMN,∴MN∥平面BEF.


【解析】(1)證明四邊形BCDM是菱形,對(duì)角線BD⊥CM,再證明FD⊥CM,即可證明CM⊥平面BDF,從而得平面CFM⊥平面BDF;(2)過(guò)點(diǎn)N作NP∥EF,交DF與點(diǎn)P,連接PM,證明平面PMN∥平面BEF,即可證明MN∥平面BEF.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行),還要掌握平面與平面垂直的判定(一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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最高氣溫

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天數(shù)

2

16

36

25

7

4

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