Question

對(duì)于函數(shù)f（x）（x∈D），若x∈D時(shí)，均有f′（x）＞f（x）成立，則稱函數(shù)f（x）是J函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)函數(shù)f（x）=me^xlnx是J函數(shù)時(shí)，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）為（0，+∞）上的J函數(shù)，試比較g（a）與e^a-1g（1）的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,不等式比較大小

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)J函數(shù)的定義，解不等式f'（x）＞f（x），通過(guò)這個(gè)不等式，我們可以求出m的取值范圍，
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）為（0，+∞）上的J函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=me^xlnx，可得f′（x）=m（e^xlnx+

ex

x

），
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是J函數(shù)，所以m（e^xlnx+

ex

x

）＞me^xlnx，
即

mex

x

＞0，
因?yàn)?span id="hrjlfdn" class="MathJye">

ex

x

＞0，所以m＞0，
即m的取值范圍為（0，+∞）．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)h（x）=

g(x)

ex

，x∈（0，+∞），
則h′(x)=

g′(x)-g(x)

ex

＞0，可得h（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，h（a）＞h（1），即

g(a)

ea

＞

g(1)

e

，得g（a）＞e^a-1g（1）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，h（a）＜h（1），即

g(a)

ea

＜

g(1)

e

，得g（a）＜e^a-1g（1）；
當(dāng)a=1時(shí)，h（a）=h（1），即

g(a)

ea

=

g(1)

e

，得g（a）=e^a-1g（1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)的定義結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是解決本題的關(guān)鍵．