Question

如圖，在四棱錐中，底面，， ，，，點為棱的中點.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）如圖，取中點，連接，.易得四邊形為矩形，從而使問題得證.

（Ⅱ）為了求出直線與平面所成角的正切值，首先作出直線在平面內的射影.在本題中直接過點E作平面的垂直比較困難.連接，由（Ⅰ）易得.又因為，為的中點，故，所以平面，故平面平面.所以直線在平面內的射影為直線，故為直線與平面所成的角.在直角三角形中，可求得直線與平面所成的角的正切值

試題解析：（Ⅰ）如圖，取中點，連接，.

由于分別為的中點， 故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.

因為底面，故，而，從而平面，因為平面，于是，又，所以.

（Ⅱ）連接，由（Ⅰ）有平面，得，

而，故.

又因為，為的中點，故，從而，所以平面，

故平面平面.

所以直線在平面內的射影為直線，

而，可得為銳角，

故為直線與平面所成的角.

依題意，有，而為中點，可得，進而.

故在直角三角形中，

所以直線與平面所成的角的正切值為

考點：1、空間直線的垂直關系；2、直線與平面所成的角.