Question

如圖，在四棱錐中，底面，， ，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值.

 

 

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）如圖，取中點(diǎn)，連接，.易得四邊形為矩形，從而使問題得證.

（Ⅱ）為了求出直線與平面所成角的正切值，首先作出直線在平面內(nèi)的射影.在本題中直接過點(diǎn)E作平面的垂直比較困難.連接，由（Ⅰ）易得.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719562141055047/SYS201411171956255981149491_DA/SYS201411171956255981149491_DA.014.png">，為的中點(diǎn)，故，所以平面，故平面平面.所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，故為直線與平面所成的角.在直角三角形中，可求得直線與平面所成的角的正切值

試題解析：（Ⅰ）如圖，取中點(diǎn)，連接，.

由于分別為的中點(diǎn)， 故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719562141055047/SYS201411171956255981149491_DA/SYS201411171956255981149491_DA.034.png">底面，故，而，從而平面，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719562141055047/SYS201411171956255981149491_DA/SYS201411171956255981149491_DA.040.png">平面，于是，又，所以.

（Ⅱ）連接，由（Ⅰ）有平面，得，

而，故.

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719562141055047/SYS201411171956255981149491_DA/SYS201411171956255981149491_DA.014.png">，為的中點(diǎn)，故，從而，所以平面，

故平面平面.

所以直線在平面內(nèi)的射影為直線，

而，可得為銳角，

故為直線與平面所成的角.

依題意，有，而為中點(diǎn)，可得，進(jìn)而.

故在直角三角形中，

所以直線與平面所成的角的正切值為

考點(diǎn)：1、空間直線的垂直關(guān)系；2、直線與平面所成的角.