Question

已知角A，B，C為△ABC的三個內角，其對邊分別為a，b，c，若

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），a=2

3

，且

m

•

n

=

1

2

．
（1）若△ABC的面積S=

3

，求b+c的值．
（2）求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式求出-cosA=

1

2

，又A∈（0，π），可得A的值，由三角形面積及余弦定理求得 b+c的值．
（2）由正弦定理求得b+c=4sin（B+

π

3

），根據(jù)B+

π

3

的范圍求出sin（B+

π

3

）的范圍，即可得到b+c的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

=（-cos

A

2

，sin

A

2

），

n

=（cos

A

2

，sin

A

2

），
且

m

•

n

=（-cos

A

2

，sin

A

2

）•（cos

A

2

，sin

A

2

）=-cos²

A

2

+sin²

A

2

=-cosA=

1

2

，
即-cosA=

1

2

，又A∈（0，π），∴A=

2π

3

…．（3分）   又由S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，所以bc=4．
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bc•cos

2π

3

=b²+c²+bc，∴16=（b+c）²，故 b+c=4．…（7分）
（2）由正弦定理得：

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=

2 3

sin 2π 3

=4，又B+C=π-A=

π

3

，
∴b+c=4sinB+4sinC=4sinB+4sin（

π

3

-B）=4sin（B+

π

3

），
∵0＜B＜

π

3

，則

π

3

＜B+

π

3

＜

2π

3

，則

3

2

＜sin（B+

π

3

）≤1，
即b+c的取值范圍是（2

3

，4]． …（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，正弦定理及余弦定理，二倍角公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，綜合性較強．