Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=3a_n+1．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）判斷{a_n}是遞增還是遞減數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a₁=-$\frac{1}{2}$，a_n=S_n-S_n-1=3a_n+1-（3a_n-1+1）=3a_n-3a_n-1，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，由此能求出a_n．
（Ⅱ）利用作差法，a_n+1-a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1＜0，即可判斷．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3a_n+1，
∴n=1時(shí)，S₁=a₁=3a₁+1，解得a₁=-$\frac{1}{2}$，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3a_n+1-（3a_n-1+1）=3a_n-3a_n-1，
∴3a_n-1=2a_n，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{3}{2}$的等比數(shù)列，
∴a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1．
（Ⅱ）∵a_n+1-a_n=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ+$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1=-$\frac{1}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-1＜0，
∴{a_n}是遞減數(shù)列

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及數(shù)列的單調(diào)性，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用