Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC，D、E分別為AA₁、B₁C的中點(diǎn)．
（I）證明：DE∥底面ABC
（II）設(shè)二面角A-BC-D為60°；求BD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取BC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，BE，先根據(jù)E為B₁C的中點(diǎn)得到EF=DA，EF∥DA進(jìn)而得AFED為平行四邊形；即可得到DE∥底面ABC．
（II）先根據(jù)第一問的結(jié)論知道∠DBE即為BD與平面BCC₁B₁所成的角；再結(jié)合∠DAF即為二面角A-BC-D的平面角求出邊長(zhǎng)即可求出結(jié)論．

解答： （I）證：取BC的中點(diǎn)F，連接EF，DF，BE，
∵AB=AC，∴AF⊥BC，
因?yàn)镋為B₁C的中點(diǎn)
∴EF∥BB₁，F(xiàn)E=

1

2

BB₁，
∴EF=DA，EF∥DA
∴AFED為平行四邊形，
∴DE∥AF，
∴DE∥平面ABC．
（II）解：∵AF⊥BC，AF⊥BB₁，
∴AF⊥平面BCC₁B₁，
∵DE∥AF⇒DE⊥平面BCC₁B₁
∴∠DBE即為BD與平面BCC₁B₁所成的角．
∵二面角A-BC-D為60°；
而DA⊥平面ABC，AF⊥BC；
∴∠DAF即為二面角A-BC-D的平面角，
所以∠DAF=60°，tan∠DFA=

DA

AF

⇒DF=AF•tan∠DFA=

2

2

×tan60°=

6

2

．
∴BD=

DE 2+AB 2

=

( 6 2 )2+12

=

10

2

．
∴sin∠DBE=

DE

BD

=

AF

BD

=

2 2

10 2

=

5

5

．
即BD與平面BCC₁B₁所成的角的正弦值為：

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線面所成的角以及線面平行的判定．一般在證明線面平行時(shí)，常轉(zhuǎn)化為證線線平行．