已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)F(-
1
4
,0
),且與直線x=
1
4
相切,圓心C的軌跡記為E.,曲線E與直線l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)當(dāng)△OAB的面積等于
10
時(shí),求k的值;
(Ⅲ)在曲線E上,是否存在與k的取值無關(guān)的定點(diǎn)M,使得MA⊥MB?若存在,求出所有符合條件的定點(diǎn)M;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(Ⅰ)由拋物線的定義易知這是一條以(-
1
4
,0)
為焦點(diǎn),以x=
1
4
為準(zhǔn)線的拋物線,即可得其標(biāo)準(zhǔn)方程
(Ⅱ)將直線與曲線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,設(shè)而不求,將△OAB的面積表示為k的函數(shù),求最值即可
(Ⅲ)假設(shè)存在這樣的點(diǎn),由MA⊥MB,得
MA
 •
MB
=0
,再結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論即可求得此定點(diǎn)
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)點(diǎn)C的軌跡方程為y2=-x,
(Ⅱ).由方程組
消去x后,整理得
y2=-x,
y=k(x+1)
ky2+y-k=0.
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),由韋達(dá)定理
y1+y2=-
1
k
y1y2=-1

∵A、B在拋物線y2=-x上,
∴y12=-x1,y22=-x2,y12•y22=x1x2
設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)N,則N(-1,0)
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN
=
1
2
|ON||y1|+
1
2
|ON||y2|
=
1
2
|ON|•|y1-y2|,
∴S△OAB=
1
2
•1•
(y1+y2)2-4y1y2

=
1
2
(
1
k
)
2
+4

∵S△OAB=
10

10
=
1
2
1
k2
+4
.解得k=±
1
6

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),若(y1-y0)(y2-y0)+(x1-x0)(x2-x0)=0
?
1
k2
x0+
1
k
y0+
y
2
0
+2x0+
x
2
0
=0

?
x0=0
y0=0
y
2
0
+2x0+
x
2
0
=0 
?
x0=0
y0=0

故存在唯一的合乎題意的點(diǎn)M(0,0)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與拋物線的關(guān)系,解題時(shí)要耐心細(xì)致,準(zhǔn)確作答
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已知?jiǎng)訄AC過定點(diǎn)F(1,0),且與定直線x=-1相切.
(Ⅰ) 求動(dòng)圓圓心C的軌跡T的方程;
(Ⅱ)若軌跡T上有兩個(gè)定點(diǎn)A、B分別在其對(duì)稱軸的上、下兩側(cè),且|FA|=2,|FB|=5,在軌跡T位于A、B兩點(diǎn)間的曲線段上求一點(diǎn)P,使P到直線AB的距離最大,并求距離的最大值.

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