Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié).

（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且,求橢圓的方程；

（2）若求橢圓離心率e的值.

 

 

Answer 1

（1）（2）

【解析】

試題分析：（1）由|BF2|=知=2，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程即可求出b，從而寫(xiě)出橢圓方程；（2）由兩點(diǎn)式求出BF2方程，將BF2方程與橢圓方程聯(lián)立求出A點(diǎn)坐標(biāo)，從而寫(xiě)出C的坐標(biāo)，利用則其斜率之積為-1，列出關(guān)于a,c方程，從而求出橢圓的離心率.

試題解析：設(shè)橢圓的焦距為,則且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720164875518873/SYS201411172017039900322953_DA/SYS201411172017039900322953_DA.010.png">

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,故,

所以,所求橢圓的方程為.

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720164875518873/SYS201411172017039900322953_DA/SYS201411172017039900322953_DA.013.png">在直線上,所以直線的方程是

由或

所以點(diǎn)坐標(biāo)為,又軸,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,可得

點(diǎn)坐標(biāo)為

因此直線的斜率為

因?yàn)橹本€的斜率是,由

考慮到,化簡(jiǎn)得

所以,橢圓的離心率為.

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系