Question

設(shè)X為隨機(jī)變量，從棱長為a的正方體,的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，X=0；當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí)，X的值為四點(diǎn)組成的四面體的體積．

（1）求概率P(X=0)；

（2）求X的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(X)．

 

Answer 1

（1）；（2）分布列詳見解析，．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)X=0時(shí)，則從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)所取的四個(gè)頂點(diǎn)共面，此時(shí)有12種（六個(gè)對角面和六個(gè)表面），而基本事件總數(shù)有，代入古典概型的概率計(jì)算公式求解；（2）考慮X的不同取值，并計(jì)算取各個(gè)值時(shí)的概率，寫出分布列并求期望，其中當(dāng)所取四點(diǎn)不共面時(shí)，要注意體積的變化，按照頂點(diǎn)位置分為兩種情況．

試題解析：（1）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn),共有種不同取法．

其中共面的情況共有12種(6個(gè)側(cè)面,6個(gè)對角面)．

則P(X=0)=． 4分

（2）任取四個(gè)點(diǎn),當(dāng)四點(diǎn)不共面時(shí),四面體的體積只有以下兩種情況:

①四點(diǎn)在相對面且異面的對角線上,體積為

這樣的取法共有2種． 6分

②四點(diǎn)中有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)側(cè)面上,另一個(gè)點(diǎn)在相對側(cè)面上,體積為．

這樣的取法共有種 8分

X的可能取值是0，， 9分

X的分布列為

X	0

 

數(shù)學(xué)期望E(X)=． 12分

考點(diǎn)：1、古典概型；2、空間幾何體的結(jié)構(gòu)和幾何體體積．