Question

4．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，cosx），\overrightarrow n=（cosx，-\sqrt{3}cos（π+x））$（x∈R）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，再向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積和二倍角公式，兩角和的正弦公式，誘導公式，和最小正周期的定義即可求出．
（Ⅱ）根據(jù)圖象的平移得到g（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）向量$\overrightarrow m=（sinx，cosx），\overrightarrow n=（cosx，-\sqrt{3}cos（π+x））$（x∈R），
函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sinxcosx-$\sqrt{3}$cosxcos（π+x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（cos2x+1）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期，T=$\frac{2π}{2}$=π，
（Ⅱ）∵函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，再向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴g（x）=sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上單調遞增，
∴g（x）_max=g（$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡與求值以及圖象和平移，屬于中檔題．