Question

3．如圖，已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的某漸近線交于兩點(diǎn)P，Q．若∠PAQ=60°且$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，則雙曲線C的漸近線方程為（　　）

• A． y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x
• B． y=±$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=±$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$x

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由向量共線的坐標(biāo)表示，可得Q的坐標(biāo)，求得弦長(zhǎng)|PQ|，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得m=$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，半徑r=$\frac{{a}^{2}}{c}$，運(yùn)用圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到a，b的關(guān)系，進(jìn)而求得漸近線方程..

解答 解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，A（a，0），
P（m，$\frac{bm}{a}$），（m＞0），由$\overrightarrow{OQ}$=3$\overrightarrow{OP}$，可得Q（3m，$\frac{3bm}{a}$），
圓的半徑為r=|PQ|=$\sqrt{4{m}^{2}+\frac{4^{2}{m}^{2}}{{a}^{2}}}$=2m•$\frac{c}{a}$，
PQ的中點(diǎn)為H（2m，$\frac{2bm}{a}$），
由AH⊥PQ，可得$\frac{2bm}{a（2m-a）}$=-$\frac{a}$，
解得m=$\frac{{a}^{3}}{2{c}^{2}}$，r=$\frac{{a}^{2}}{c}$．
A到漸近線的距離為d=$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
則|PQ|=2$\sqrt{{r}^{2}-0gcq8i4^{2}}$=r，
即為d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，即有$\frac{ab}{c}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$．
可得$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即有漸近線的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，以及圓的弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．