分析 (Ⅰ)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,結(jié)合x∈[0,\frac{π}{2}],求得f(x)的值域.
(Ⅱ)由f(\frac{A}{2})=\sqrt{3}求得A的值,利用余弦定理求得bc的值,可得△ABC的面積S=\frac{1}{2}bc•sinA 的值.
解答 解:(Ⅰ)由題得,函數(shù)f(x)=\sqrt{3}{cos^2}x+sinxcosx=\frac{\sqrt{3}}{2}(1+cos2x)+\frac{1}{2}sin2x=sin(2x+\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2},
當(dāng)x∈[0,\frac{π}{2}]時(shí),2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3},\frac{4π}{3}],∴sin(2x+\frac{π}{3})∈[-\frac{\sqrt{3}}{2},1],
所以,f(x)的值域?yàn)閇0,1+\frac{\sqrt{3}}{2}].
(Ⅱ)因?yàn)閒(\frac{A}{2})=sin(A+\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},∴sin(A+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2},∴A+\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}或\frac{π}{3},∴A=\frac{π}{3}或0(舍去)
結(jié)合a=4,b+c=5,∴a2=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-3bc=25-3bc=16,∴bc=3,
∴△ABC的面積S=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{1}{2}•3•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的定義域和值域,余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.
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A. | 充分而不必要條件 | B. | 必要而不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | 38 | B. | 39 | C. | 18 | D. | 19 |
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