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1.已知函數(shù)fx=3cos2x+sinxcosx
(Ⅰ)當(dāng)x∈[0,\frac{π}{2}]時(shí),求f(x)的值域;
(Ⅱ)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若f(\frac{A}{2})=\sqrt{3},a=4,b+c=5,求△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,結(jié)合x∈[0,\frac{π}{2}],求得f(x)的值域.
(Ⅱ)由f(\frac{A}{2})=\sqrt{3}求得A的值,利用余弦定理求得bc的值,可得△ABC的面積S=\frac{1}{2}bc•sinA 的值.

解答 解:(Ⅰ)由題得,函數(shù)f(x)=\sqrt{3}{cos^2}x+sinxcosx=\frac{\sqrt{3}}{2}(1+cos2x)+\frac{1}{2}sin2x=sin(2x+\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2},
當(dāng)x∈[0,\frac{π}{2}]時(shí),2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3},\frac{4π}{3}],∴sin(2x+\frac{π}{3})∈[-\frac{\sqrt{3}}{2},1],
所以,f(x)的值域?yàn)閇0,1+\frac{\sqrt{3}}{2}].
(Ⅱ)因?yàn)閒(\frac{A}{2})=sin(A+\frac{π}{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},∴sin(A+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2},∴A+\frac{π}{3}=\frac{2π}{3}\frac{π}{3},∴A=\frac{π}{3}或0(舍去)
結(jié)合a=4,b+c=5,∴a2=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-3bc=25-3bc=16,∴bc=3,
∴△ABC的面積S=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{1}{2}•3•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的定義域和值域,余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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12.已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=k(x-1)
(1)當(dāng)k=e 時(shí),求函數(shù)h(x)=\frac{f(x)-g(x)}{x} 的極值;
(2)當(dāng)k>0 時(shí),若對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x1,x2∈[1,2],均有|{\frac{{f({x_1})}}{x_1}-\frac{{f({x_2})}}{x_2}}|>|{\frac{{g({x_1})}}{x_1}-\frac{{g({x_2})}}{x_2}}|,求實(shí)數(shù)k 的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)h(x)=\frac{f(x)-g(x)}{x} 在[1,e]上的最小值為\frac{1}{2},若存在求出k 的值,若不存在,說明理由.

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9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AB,BC的中點(diǎn). 
(1)求證:平面B1MN⊥平面BB1D1D;
(2)在棱DD1上是否存在一點(diǎn)P,使得BD1∥平面PMN,若存在,求D1P:PD的比值;若不存在,說明理由.

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16.(1)已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,1),傾斜角α=\frac{π}{6},寫出直線l的參數(shù)方程.
(2)極坐標(biāo)系中,已知圓ρ=10cos({\frac{π}{3}-θ}),將它化為直角坐標(biāo)方程.

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6.代數(shù)式1+\frac{1}{{1+\frac{1}{1+…}}}中省略號(hào)“…”代表以此方式無限重復(fù),因原式是一個(gè)固定值,可以用如下方法求得:令原式=t,則1+\frac{1}{t}=t,則t2-t-1=0,取正值得t=\frac{\sqrt{5}+1}{2},用類似方法可得\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+…}}}=3.

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A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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10.已知圓C:(x-a)2+(y-a-2)2=9,其中a為實(shí)常數(shù).
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(2)設(shè)點(diǎn)A(3,0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若圓C上存在點(diǎn)M,使|MA|=2|MO|,求a的取值范圍.

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11.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入a=10011,k=2,n=5,則輸出的b的值是( �。�
A.38B.39C.18D.19

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